典型习题：(080307)构建空间曲面图形的数学描述

Original xwmath 考研竞赛数学 2023-04-02

点“考研竞赛数学”↑可每天“涨姿势”哦！

习题分析、求解、小结讲解视频

习题与参考答案

内容小结与知识点

“构建空间曲面图形的数学描述”题型的求解思路以及相关的知识点：

1．构建图形数学描述形式的一般步骤

（1）针对实际问题，构建合适的空间直角坐标系。

【注】当然根据问题的描述的方便，也可以是其他坐标系，比如在三重积分中我们要讨论的柱坐标系、球坐标系等。

（2）在图形上，或者空间任取一符合问题背景或相关几何意义的点，并设其坐标为M(x,y,z)。

（3）依据问题提供的条件，比如物理意义、几何意义等，构建相关的等式，并转化为点M的坐标变量x,y,z的等式；或者通过适当引入参数，将点M的坐标变量x,y,z描述为有关参数的表达式，如果是平面图形或曲线图形，则一个参数；如果是曲面图形，一般为两个参数。

（4）化简相关等式，得到图形的方程描述形式。

2．旋转曲面的定义

空间中，一条曲线绕一定直线旋转一周所得的曲面称为旋转曲面，定直线称为旋转曲面的旋转轴，曲线称为旋转曲面的母线．

比如，yOz坐标面上的曲线C:f(y,z)=0绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为

绕y轴旋转一周所成的旋转曲面的方程为

【注1】旋转曲面的母线的不唯一。

【注2】坐标面上的曲线绕坐标轴旋转所得旋转曲面的方程可以通过将方程中旋转轴对应的变量外的另一变量替换为正负根号下旋转轴变量外的两个变量的平方和即可。如xOy平面上的曲线x²+y=1绕y轴旋转，所得旋转曲面方程为

【注3】yOz平面上的曲线C:f(y,z)=0绕z轴旋转一周所成的旋转曲面的方程可以写成如下参数形式

【注4】由参数方程可以看到，当z=v取定时，参数方程描述的图形为平面z=v上的一个圆；也即坐标面的曲线绕坐标轴旋转所得旋转曲面的图形，也可以看成是以|u|为变化半径的，平行于xOy面圆构建而成，其所在平面与坐标的位置由v确定。

3．几个特殊的旋转曲面及其方程

(1) 旋转椭球面：椭圆绕其对称轴旋转所得的旋转曲面。

(2)旋转双曲面：双曲面绕其对称轴旋转所得的旋转曲面，绕双曲线实轴旋转所得的曲面为双叶双曲面；绕虚轴旋转的曲面为单叶双曲面。

(3) 旋转抛物面：抛物线绕其对称轴旋转所得的曲面为旋转抛物面。

微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath) 大学数学公共基础课程分享交流平台！

↓↓↓点阅读原文查看更多相关内容